モンティ・ホール問題の簡単な紹介と解説

確率に関する問題で、「モンティ・ホール問題」というものがあります。

これは、多くの人が直感的に出す答えと、実際に計算して出された答えが大きくかけ離れており、解説をされても納得できない人が多いことで有名です。

私は以前にこの問題を見たときには、納得できない人たちの一人でしたが、よくよく解説を読んで納得できました。そして自分の直感がいかにあてにならないかを思い知りました。こういう体験をすると、世界が広がった気がしますね。

非常に面白い問題なので、自分の備忘録的な意味も込めて、紹介します。

 

問題の概要

ここでは、純粋に確率の問題としての内容を紹介します。この問題についての論争や、名前の由来についてお知りになりたい方は、Wikipediaをご覧いただければと思います。論争もかなり面白いので、興味があれば見てみてください。

以下が問題の内容です。与えられた2つの選択肢のうち、どちらが有利かを答える問題です。

問題:

  1. 3つのドアのうち、1つが正解です
  2. プレイヤーはまず1つドアを選びます
  3. そのあとで、プレイヤーは残りの2つのうちハズレのドアを1つ知らされます
  4. プレイヤーは選択するドアを、最初に選んだものから、残ったもう1つのドアに変更することができます。
  5. プレイヤーがアタリを引くためには、ドアを選び直した方が良いでしょうか

私は最初にこの問題を見たときには、どっちを選んでも確率は変わらないんじゃないの?と思いましたが、いかがでしょうか。もしこの問題をご存じない方は、一度考えて見てください。

 

ドアを変えなかった場合

順を追って問題を整理してみます。まず、最初に選択する段階では、3つのドアから一つを選ぶので、アタリを引く確率は

1 / 3

ですね。

もしも、選び直すことがなければ、選択肢を与えられなかったのと同じなので、最終的な確率も 1 / 3 で変わりません。

問題は、選び直した場合の確率です。

ドアを変えた場合

選びなおす場合、残った2つから選ぶので、1 / 2 ? と思う方は多いのではないでしょうか。「ハズレを知らされた時点で選び直す」と考えてしまうと、はまってしまっています。ここで発想の転換が必要です。

選び直す段ではなく、ドアが3つある状態から考えてみましょう。

最初の時点で、ドアは3つあります。その中でハズレが2つ、アタリが1つなので、それぞれの確率は、

ハズレを引く確率: 2 / 3

アタリを引く確率: 1 / 3

です。

ここでハズレのドアが減らされることになりますが、ここで確認です。

もしも最初にアタリを選択していた場合、変更すると外れてしまいます。

では、最初にハズレを選択していたら?

最初にハズレを選択していた場合、ドアを変更すると、必ずアタリを引くことになります。

おわかりいただけただろうか

 

もう一度ご覧いただこう。

3つドアがある段での確率は、

ハズレを引く確率: 2 / 3

アタリを引く確率: 1 / 3

 

つまり、最初にハズレを引いていれば、必ずアタリに行き着くわけです。そしてその確率は、ドアを変更しない場合と比べて、2倍。

この事実は、当時(1990年)の数学者を含む多くの人が納得できず、大変な論争を巻き起こしたそうです。しばらく論争は続きましたが、コンピュータでのシミュレーションでも同様の結果が得られ、この問題に対する正しい理解が広まっていったということです。

この問題に最初から正しい答えを出していたマリリンさんは当時大変な批判を浴びたそうです。よく考えずに人を批判してはいけませんね。私も肝に命じなければ。

 

自分なりにわかりやすいようにまとめてみましたが、ご納得いただけましたでしょうか。もし力になれたら幸いです。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

CAPTCHA